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高中物理筆記-8-功與力學能

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  1. 1. 功與力學能
    1. 1.1. 功與功率
      1. 1.1.1. 功（Work）
      2. 1.1.2. 能量
      3. 1.1.3. 延伸：常見不作功範例
      4. 1.1.4. 功率（Power）
      5. 1.1.5. 附註：度
    2. 1.2. 動能與功能原理
      1. 1.2.1. 動能（Kinetic Energy）
      2. 1.2.2. 功能定理
    3. 1.3. 位能與力學能守恆
      1. 1.3.1. 位能（Potential Energy）
      2. 1.3.2. 位能分類
      3. 1.3.3. 力學能
      4. 1.3.4. 力學能(E)
    4. 1.4. 星體間的力學能守恆
      1. 1.4.1. 重力位能一般通式
      2. 1.4.2. 圓周軌道的星體運動
      3. 1.4.3. 補充：脫離速度

功與力學能

功與功率

功（Work）

  1. 意義：施力的有效工作量
  2. 公式：W=F⃗⋅d⃗=Fdcos⁡θW=\vec{F} \cdot \vec{d}=Fd\cos\theta
  3. 單位：N⋅m=JN \cdot m=J（焦耳）
  4. 功為純量，沒有方向性。但有正負（取決於cos⁡θ\cos\theta），代表系統能量的增減變化量
    至於其獲取的正負則根據其夾角cos⁡θ\cos\theta而定
  5. 性質
    (1) 功具有累積性，不同時間的功可以相加
    (2) 某系統受多力作用時，則對系統所做的功=各力所作之功的和=各力之合力作功

能量

  1. 物體具有作功的能力，則代表此物具有能量
  2. 單位：JJ（焦耳）
  3. 作功會造成系統能量變化，而能量代表系統可以作功

延伸：常見不作功範例

  1. 單擺
    繩張力(T)會垂直於物體的速度，顧不作功
    單擺.png
  2. 衛星作圓周運動
    circle.png
  3. 物體是否維持等速率

功率（Power）

  1. 意義：作功的效率，表示單位時間的作功或能量變化。
  2. 公式：P=WΔTP=\frac{W}{\Delta T}
  3. 單位：J/s=WJ/s=W（瓦特）

附註：度

  1. 將功率乘上時間可得這段時間內的作功
  2. 台灣電費計費單位是度=千瓦小時，也是能量單位
    千瓦小時（kW⋅hkW \cdot h）是複合單位，實際上1千瓦的電器使用1小時消耗的電就是一度
  3. 1度1kW⋅h=1000W×36001kW \cdot h=1000W \times 3600秒=3.6×106J=3.6\times10^6J

動能與功能原理

動能（Kinetic Energy）

  1. 意義：物體因為運動所具有的能量
  2. 公式：K=12mv2K=\frac{1}{2}mv^2
  3. 單位：kg×m2/s2=Jkg\times m^2/s^2=J(焦耳)
  4. 一樣沒有方向性，且恆為正值，僅能表示作功力之大小

功能定理

這裡就不推導了，記得合力作功W=ΔK=kf−kiW=\Delta K=k_f-k_i

位能與力學能守恆

位能（Potential Energy）

  1. 意義：物體因為位置不同，而儲存在系統中的能量
  2. 單位：焦耳JJ
  3. 要注意的幾件事
    （１）位能不是單一物體所擁有的能量，而是系統所擁有的能量
    （２）要定義基準面，隨基準面（零位面）不同，位能可以有不同的值
    （３）位能的值其實沒太大意義，重要的是兩點間的位能差，代表其作功能力

位能分類

位能形式系統公式零位面重力位能質點系統Ug=mgh地表彈力位能彈簧系統Us=12kx2平衡位置電磁位能電荷系統暫不討論無窮遠\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{位能形式} & \text{系統} & \text{公式} & \text{零位面} \\ \hline \text{重力位能} & \text{質點系統} & U_g = mgh & \text{地表} \\ \hline \text{彈力位能} & \text{彈簧系統} & U_s = \frac{1}{2} k x^2 & \text{平衡位置} \\ \hline \text{電磁位能} & \text{電荷系統} & \text{暫不討論} & \text{無窮遠} \\ \hline \end{array}

電磁位能不太會考
另外一個原因是我還沒學哈哈ww
這邊先簡易介紹一下重力位能與彈力位能
通常而言，重力位能的零位面是地表，彈力位能的零位面是彈簧原長處
但可依其計算方便性去定義零位面
就如剛才說的，重要的不是值本身，而是位能差

力學能

在講到力學能之前要先講一下所謂的保守力與非保守力
什麼是保守力呢，就是很保守的力wwww

{重力彈力電磁力\begin{cases} \begin{array}{l} \text{重力} \\ \text{彈力} \\ \text{電磁力} \end{array} \end{cases}

可以簡單分成這三種
其中學測通常只考前兩種
換句話說其他看起來壞壞的會欺負你的就是非保守力
像摩擦力、正向力、浮力、空阻等等等

那接下來要進到我們最可愛又最好玩的大魔王嘞

力學能(E)

簡單來說
力學能就是動能加位能
如果沒有非保守力
整個系統的運作前後動位能相加會相等，也就是我們所說的力學能守恆

{Ki+Ui=Kf+UfΔK+ΔU=0\begin{cases} \begin{array}{l} K_i+U_i=K_f+U_f \\ \Delta K+ \Delta U =0 \\ \end{array} \end{cases}

好，以上到這邊，恭喜你閱讀完了基礎，也就是我們最常看到的部份
接下來來點更好玩的瞜~
準備好了嗎孩子們
要開始瞜哈哈哈哈哈
是的香菇船長.png

星體間的力學能守恆

重力位能一般通式

上到這裡的時候很常令我感到困惑
尤其又是自己摸不到感受不到的東西
算一堆名為M跟m的星星在那裡有多少位能到底乾我屁事
宇宙中有一個莫名其妙的大圓環跟星星，我算出來他的速度我的晚餐也不會加菜阿www
吐槽完了，Anyway，
我們之前學的Ug=mghU_g=mgh是針對地表附近的重力位能
今天如果是像衛星，星球間的引力等等的
就不能代這個公式
因此誕生了一條新的式子

Ug=−GMmrU_g=\frac{-GMm}{r}

有沒有感覺很像什麼式子，沒錯，就是我們的萬有引力公式
其實只要將它簡易微分
就會長的跟萬有引力公式一樣瞜

圓周軌道的星體運動

香菇星與M.png
先回到星星間最容易想到的力
也就是萬有引力，也是我們第一個力
接下來由於現在討論的情況是圓周軌道，所以也可以代Fc=mv2rF_c=m\frac{v^2}{r}這個公式
那，好玩的事情來了
我們簡單約分並將兩邊都乘以12\frac{1}{2}
會發現甚麼
欸~~~~好神奇喔
變動能的式子了欸
M (3).png
那，我們的總力學能代入剛才的位能一般通式去算

E=U+E=−GMmr+GMm2r=12UE=U+E_=\frac{-GMm}{r}+\frac{GMm}{2r}=\frac{1}{2}U

好神奇呦
竟然變12\frac{1}{2}倍的位能了耶
好酷喔~~(並沒有)

只是需要注意
如果今天遇到的是橢圓軌道的話
需要先用克卜勒第二定律
用距離求出速率比
再用E∝V2E\propto V^2去進行解題喔

補充：脫離速度

最後簡單介紹一下脫離速度的概念
就可以結束這篇博客了（終於（泣～
簡單而言，脫離速度就是要把星體拖去無窮遠處
但我們要求剛好達到無窮遠處所需的能量
所以要先知道星體在原軌道上的能量
可以用前面的式子

−GMmr+GMm2r=12U\frac{-GMm}{r}+\frac{GMm}{2r}=\frac{1}{2}U

也就是12U=−GMm2r\frac{1}{2}U=\frac{-GMm}{2r}來代入
然後加上所需的動能EkE_k
如果需要的是速率
可以再用原動能公式下去化簡求出速率

以上
為功與力學能的篇章
可能有很多沒補充到的
之後再補齊吧
掰~