心智圖

主題一：空間概念

焦點１　直線與直線

空間中兩直線的關係必為以下四種之一

1. 重合
2. 平行
3. 相交於一點
4. 歪斜

兩歪斜線的公垂線L與兩歪斜線交於P、Q兩點，線段PQ即為兩線的距離

焦點２　平面與平面

兩平面的位置關係必為以下三種之一

1. 相交
2. 平行
3. 重合

兩面角:
對兩相交平面的交線取一點$O$點
在$O$點上分別在兩平面上做與交線垂直的線
則兩垂線夾角$\theta$為兩面角

焦點３　直線與平面

一條直線與一個平面的關係必為以下三種之一：

1. 相交
2. 平行
3. 線包含在平面內

三垂線定理:

用圖看
黑線現在平面$E$上
藍線與黑線垂直
紅線與平面和藍線垂直
則綠線必與黑線垂直

主題二：空間座標與空間向量

焦點２　空間座標、向量的表示法與運算

空間中的座標其實可以用玩Minecraft的感覺去想
其距離、向量等 都可以在Minecraft裡面實現出來
而且說實話w
很多都跟平面沒有什麼差別
最大只是多了Z軸的概念
所以我就省略一些內容了w

主題三：空間向量的內積

焦點１　$\cos \theta$角

內積的大部分在平面時寫過了
與其比較不同的是
在算到空間的$\cos \theta$角時
我有時也會傾向用餘弦定律去解
某種意義上也是一種趣味(?)

焦點３　正射影

略w

焦點４　柯西不等式

略略ww

主題四：空間向量的外積

焦點１　空間向量外積

外積的定義其實可以想像成是烽火台(?)
烽火台發射的光是往天空走的 我們把它看成是$\vec{Z}$向量
他會與$\vec{X}$向量和$\vec{Y}$向量垂直

就實際定義而言
一樣先假設兩向量
$\vec{a}=(x_a,y_a,z_a)$，$\vec{b}=(x_b,y_b,z_b)$
則外積

$\vec{C}=( \begin{vmatrix} y_a & z_a \\ y_b & z_b \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} z_a & x_a \\ z_b & x_b \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} x_a & y_a \\ x_b & y_b \end{vmatrix} )$

其中$|\vec{a} \times \vec{b}|$又可以記成$|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$的格式

香菇圖繪:

焦點２　空間三角形面積

空間中有兩向量$\vec{AB}$和$\vec{AC}$決定一個平行四邊形，夾了個$\theta$角
則三角形面積：
$\frac{1}{2}|\vec{AB}\times\vec{AC}|$
平行四邊形面積：
$|\vec{AB}\times\vec{AC}|$

主題五：體積與三階行列式

焦點１　三階行列式

三階行列式與二階行列式其實規則相似
我簡單介紹一下三階行列式的算法就好w

$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = (aei+bfg+cdh)-(ceg+bdi+afh)$

香菇圖繪:

焦點２　空間體積公式

而空間中三個不平行向量

$\vec{a}=(a,b,c),\vec{b}=(d,e,f),\vec{c}=(g,h,i)$

則由三向量組成的平行六面體體積$V$為

$|\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}|$

註:三向量組成的四面體體積$V'=\frac{V}{6}$
若三向量共平面則$V=0$
(意即三階行列式結果為0)