心智圖
主題一:空間概念
焦點1 直線與直線
空間中兩直線的關係必為以下四種之一
- 重合
- 平行
- 相交於一點
- 歪斜
兩歪斜線的公垂線L與兩歪斜線交於P、Q兩點,線段PQ即為兩線的距離
焦點2 平面與平面
兩平面的位置關係必為以下三種之一
- 相交
- 平行
- 重合
兩面角:
對兩相交平面的交線取一點O點
在O點上分別在兩平面上做與交線垂直的線
則兩垂線夾角θ為兩面角
焦點3 直線與平面
一條直線與一個平面的關係必為以下三種之一:
- 相交
- 平行
- 線包含在平面內
三垂線定理:
用圖看
黑線現在平面E上
藍線與黑線垂直
紅線與平面和藍線垂直
則綠線必與黑線垂直
主題二:空間座標與空間向量
焦點2 空間座標、向量的表示法與運算
空間中的座標其實可以用玩Minecraft的感覺去想
其距離、向量等 都可以在Minecraft裡面實現出來
而且說實話w
很多都跟平面沒有什麼差別
最大只是多了Z軸的概念
所以我就省略一些內容了w
主題三:空間向量的內積
焦點1 cosθ角
內積的大部分在平面時寫過了
與其比較不同的是
在算到空間的cosθ角時
我有時也會傾向用餘弦定律去解
某種意義上也是一種趣味(?)
焦點3 正射影
略w
焦點4 柯西不等式
略略ww
主題四:空間向量的外積
焦點1 空間向量外積
外積的定義其實可以想像成是烽火台(?)
烽火台發射的光是往天空走的 我們把它看成是Z向量
他會與X向量和Y向量垂直
就實際定義而言
一樣先假設兩向量
a=(xa,ya,za),b=(xb,yb,zb)
則外積
C=(∣∣∣∣yaybzazb∣∣∣∣,∣∣∣∣zazbxaxb∣∣∣∣,∣∣∣∣xaxbyayb∣∣∣∣)
其中∣a×b∣又可以記成∣a∣∣b∣sinθ的格式
香菇圖繪:
焦點2 空間三角形面積
空間中有兩向量AB和AC決定一個平行四邊形,夾了個θ角
則三角形面積:
21∣AB×AC∣
平行四邊形面積:
∣AB×AC∣
主題五:體積與三階行列式
焦點1 三階行列式
三階行列式與二階行列式其實規則相似
我簡單介紹一下三階行列式的算法就好w
∣∣∣∣∣∣adgbehcfi∣∣∣∣∣∣=(aei+bfg+cdh)−(ceg+bdi+afh)
香菇圖繪:
焦點2 空間體積公式
而空間中三個不平行向量
a=(a,b,c),b=(d,e,f),c=(g,h,i)
則由三向量組成的平行六面體體積V為
∣∣∣∣∣∣∣adgbehcfi∣∣∣∣∣∣∣
註:三向量組成的四面體體積V′=6V
若三向量共平面則V=0
(意即三階行列式結果為0)