心智圖

主題一：向量的定義與運算

焦點１　向量表示法

先來說說甚麼是向量
所謂向量照字面解讀就是有方向的量
以最常見的例子而言
施力
$\vec{F}$
速度
$\vec{v}$
加速度
$\vec{a}$
這三個為我個人認為最常見的向量

在二維空間中，一個向量$\vec{a}$可以表示為$\vec{a} = (a_1, a_2)$，其中$a_1$和$a_2$分別是向量在$x$軸和$y$軸上的分量。
換句話說 兩個向量可以透過平行四邊形法或三角形法組成一個新的向量
三角形法的範例
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$

焦點２　向量的運算

向量加法：$\vec{a} + \vec{b} = (x_a + x_b, y_a + y_b)$

向量減法：$\vec{ab} = \vec{b} - \vec{a} = (x_b - x_a, y_a - y_b)$

如果是像 $\vec{ab} + \vec{bc}$ 這種 也可以用三角形法直接變成 $\vec{ac}$

主題二：線性組合與應用

焦點１　線性組合

已知平面上不平行的兩向量$\vec{a}$和$\vec{b}$
則在該平面上的每個向量都可以寫成$\vec{v} = k\vec{a} + l\vec{b}$，其中$k$和$l$是純量。

焦點２　分點公式

若點$P$是由點$A$到點$B$的線段上的分點，且$AP:PB = m:n$，則$\vec{OP} = \frac{n}{m + n} \vec{OA} + \frac{m}{m + n} \vec{OB}$

主題三：向量的內積與應用

焦點１　向量內積

內積定義

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，其中$\theta$是$\vec{a}$和$\vec{b}$之間的夾角。
設兩向量$\vec{A}(x_a,y_a)$與$\vec{B}(x_b,y_b)$
則$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b$

內積性質

1. $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$
2. $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
3. $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}$
4. $|\vec{a} \cdot \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$
5. $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$

焦點２　內積的應用

利用向量內積可以求得平行四邊形和三角形的面積，以及解析幾何問題。

焦點３　正射影

1. 向量$\vec{b}$在向量$\vec{a}$上的正射影$\vec{c} = (\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2})\vec{a}$
2. 向量$\vec{b}$在向量$\vec{a}$上的正射影長$\vec{c} = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}|}$

焦點４　柯西不等式

對於任意向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，有$|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}||\vec{b}|$
且當$\vec{a} \parallel \vec{b} \leftrightarrow \vec{a} = t\vec{b} (t \in \mathbb{R})$時等號成立
可表達成$(x_a x_b+y_a y_b)^2 \leq (x_a^2+x_b^2)(y_a^2+y_b^2)$

主題四：二階行列式與應用

焦點１　二階行列式與面積公式

1. 二階行列式
   給定向量$\vec{a} = (x_a, y_a)$和$\vec{b} = (x_b, y_b)$的二階行列式為

$\begin{vmatrix} x_a & y_a \\ x_b & y_b \end{vmatrix}$

亦等於$x_ay_b - y_ax_b$

2. 面積公式
   平面上不共線三點$A$、$B$、$C$
   由$\vec{AB}$與$\vec{AC}$決定的三角形$ABC$面積=$\frac{\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}}{2}$

其實我不常用上面這個

給定向量$\vec{a} = (x_a, y_a)$和$\vec{b} = (x_b, y_b)$則三角形$ABC$面積為

$\frac{| \begin{vmatrix} x_a & y_a \\ x_b & y_b \end{vmatrix} |}{2}$

焦點２　行列式性質

1. 行列對調其值不變

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} = ad-cb$

2. 兩行or兩列對調，其值變號

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} =- \begin{vmatrix} b & a \\ d & c \end{vmatrix}$

3. 某行可提出K倍

$\begin{vmatrix} ka & b \\ kc & d \end{vmatrix} =k \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$

4. 某行或某列可拆解(組合)

$\begin{vmatrix} a+b & e \\ c+d & f \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b & e \\ d & f \end{vmatrix}$

5. 某行或某列乘以同倍數加到另一行，其值不變

$\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & e+ka \\ c & f+kc \end{vmatrix}$

焦點３　克拉瑪公式

給一個二元一次方程組

$\begin{cases} ax + by = p \\ cx + dy = q \end{cases}$

令

$\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \Delta_x = \begin{vmatrix} p & b \\ q & d \end{vmatrix} \Delta_y = \begin{vmatrix} a & p \\ c & q \end{vmatrix}$

1. 如果$\Delta \neq 0$則此聯立方程恰有一組解$x= \frac{\Delta_x}{\Delta},y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$，其幾何意義為兩直線交一點
2. 若$\Delta = 0$且$\Delta_x = \Delta_y = 0$則代表此方程有無限多解，幾何意義為兩直線重合
3. 若$\Delta = 0$且$\Delta_x$、$\Delta_y$有一不為0，則代表此方程無解，幾何意義為兩直線平行
   我自己是覺得這沒什麼用啦w