章節開始前的小碎話
想把平面向量跟空間向量擺在一起寫
但真的要擺在一起網頁又會變得很長
苦惱(╯_╰)
心智圖
主題一:向量的定義與運算
焦點1 向量表示法
先來說說甚麼是向量
所謂向量照字面解讀就是有方向的量
以最常見的例子而言
施力
F
速度
v
加速度
a
這三個為我個人認為最常見的向量
在二維空間中,一個向量a可以表示為a=(a1,a2),其中a1和a2分別是向量在x軸和y軸上的分量。
換句話說 兩個向量可以透過平行四邊形法或三角形法組成一個新的向量
三角形法的範例
a+b=c
焦點2 向量的運算
向量加法:a+b=(xa+xb,ya+yb)
向量減法:ab=b−a=(xb−xa,ya−yb)
如果是像 ab+bc 這種 也可以用三角形法直接變成 ac
主題二:線性組合與應用
焦點1 線性組合
已知平面上不平行的兩向量a和b
則在該平面上的每個向量都可以寫成v=ka+lb,其中k和l是純量。
焦點2 分點公式
若點P是由點A到點B的線段上的分點,且AP:PB=m:n,則OP=m+nnOA+m+nmOB
主題三:向量的內積與應用
焦點1 向量內積
內積定義
a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ,其中θ是a和b之間的夾角。
設兩向量A(xa,ya)與B(xb,yb)
則a⋅b=xaxb+yayb
內積性質
- a⋅a=∣a∣2
- a⋅b=b⋅a
- a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
- ∣a⋅a∣2=∣a∣2+2a⋅b+∣b∣2
- (a+b)⋅(a−b)=∣a∣2−∣b∣2
焦點2 內積的應用
利用向量內積可以求得平行四邊形和三角形的面積,以及解析幾何問題。
焦點3 正射影
- 向量b在向量a上的正射影c=(∣a∣2a⋅b)a
- 向量b在向量a上的正射影長c=∣a∣∣a⋅b∣
焦點4 柯西不等式
對於任意向量a和b,有∣a⋅b∣≤∣a∣∣b∣
且當a∥b↔a=tb(t∈R)時等號成立
可表達成(xaxb+yayb)2≤(xa2+xb2)(ya2+yb2)
主題四:二階行列式與應用
焦點1 二階行列式與面積公式
- 二階行列式
給定向量a=(xa,ya)和b=(xb,yb)的二階行列式為
∣∣∣∣xaxbyayb∣∣∣∣
亦等於xayb−yaxb
- 面積公式
平面上不共線三點A、B、C
由AB與AC決定的三角形ABC面積=2∣AB∣2∣AC∣2−(AB⋅AC)2
其實我不常用上面這個
給定向量a=(xa,ya)和b=(xb,yb)則三角形ABC面積為
2∣∣∣∣∣xaxbyayb∣∣∣∣∣
焦點2 行列式性質
- 行列對調其值不變
∣∣∣∣acbd∣∣∣∣=∣∣∣∣abcd∣∣∣∣=ad−cb
- 兩行or兩列對調,其值變號
∣∣∣∣acbd∣∣∣∣=−∣∣∣∣bdac∣∣∣∣
- 某行可提出K倍
∣∣∣∣kakcbd∣∣∣∣=k∣∣∣∣acbd∣∣∣∣
- 某行或某列可拆解(組合)
∣∣∣∣a+bc+def∣∣∣∣=∣∣∣∣acef∣∣∣∣+∣∣∣∣bdef∣∣∣∣
- 某行或某列乘以同倍數加到另一行,其值不變
∣∣∣∣acef∣∣∣∣=∣∣∣∣ace+kaf+kc∣∣∣∣
焦點3 克拉瑪公式
給一個二元一次方程組
{ax+by=pcx+dy=q
令
Δ=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣Δx=∣∣∣∣pqbd∣∣∣∣Δy=∣∣∣∣acpq∣∣∣∣
- 如果Δ=0則此聯立方程恰有一組解x=ΔΔx,y=ΔΔy,其幾何意義為兩直線交一點
- 若Δ=0且Δx=Δy=0則代表此方程有無限多解,幾何意義為兩直線重合
- 若Δ=0且Δx、Δy有一不為0,則代表此方程無解,幾何意義為兩直線平行
我自己是覺得這沒什麼用啦w