8. 指數與對數
主題一. 指數與常用對數 (高一)
1. 指數律
指數律是數學中處理冪運算的基本法則,對於任何非零實數a
和整數n
和m
,指數律包括:
- 乘法律:當兩個具有相同底數的冪相乘時,可以將指數相加。即 。
- 除法律:當兩個具有相同底數的冪相除時,可以將指數相減。即 ,其中 。
- 冪的冪律:當一個冪的基數是另一個冪時,可以將指數相乘。即 。
- 零指數律:任何數的零次冪等於1,即 ,其中 。
- 負指數律:負指數表示該數的倒數的正指數。即 ,其中 。
2. 常用對數
常用對數是以10為底的對數,用符號“log”表示。對任何正數x
,
- 定義:如果 ,則 是
x
的常用對數,記作 。 - 性質:常用對數將乘法運算轉化為加法運算,即 。
- 換底公式:可以將以10為底的對數轉換為其他底數的對數,即 。
3. 科學記號
科學記號是一種表示極大或極小數字的方法,通過將數字寫成一個基數和一個10的整數指數的乘積。形式為 ,其中 且 n
是一個整數。
- 舉例:
3200
可以寫作 ,而0.0056
可以寫作 。 - 應用:科學記號在處理非常大或非常小的數值時非常有用,如天文學、物理學中的距離和質量測量。
4. 基本應用
指數和對數在各種數學和科學領域中都有廣泛應用。一些常見的應用包括:
- 計算複利:計算複利時,可以使用指數來確定本金在一定期限內的增長。
- 解決指數方程:在代數中,指數方程常常可以通過對數轉換為線性方程來解決。
- pH值計算:在化學中,pH值是用對數刻度測量溶液的酸性或鹼性。
- 聲音強度:在物理學中,聲音的分貝(dB)單位是基於對數刻度的,用於表示聲音強度的相對級別。
主題二. 指數函數與圖形 (高二)
1. 指數函數定義與圖形
指數函數是形式為 的函數,其中 a
是一個正常數(底數),且 。這類函數的特點包括:
- 圖形特徵:當 時,函數圖形隨著
x
的增加而遞增;當 時,圖形隨著x
的增加而遞減。 - y軸截距:所有指數函數圖形都會在 處與 y軸相交。
- 水平漸近線:指數函數的圖形有一條 y = 0 的水平漸近線。
2. 指數函數應用
指數函數在多個領域有重要應用,例如:
- 人口增長:在理想條件下,人口增長可以用指數函數來模擬。
- 放射性衰變:放射性物質的衰變過程可以用指數函數來描述。
- 複利計算:金融領域中,複利的增長過程可用指數函數來計算。
主題三. 對數律 (高二)
1. 指數對數互換
指數與對數是相互的逆運算。換言之,如果 ,則 是以 a
為底 b
的對數,即 。這種關係在解決指數方程和對數方程時尤其重要。
2. 對數律
對數律是處理對數運算的基本法則,包括:
- 乘積律:。
- 商律:。
- 冪律:。
- 底數變換公式:,其中
c
是任意正數且 。
主題四. 對數函數 (高二)
1. 對數函數與圖形
對數函數是形式為 的函數,其中 a
是底數且 。其圖形特點包括:
- x軸截距:對數函數圖形會在 處與 x軸相交。
- 垂直漸近線:對數函數圖形有一條 x = 0 的垂直漸近線。
- 增減性:當底數 時,函數隨著
x
的增加而遞增;當 時,函數隨著x
的增加而遞減。 - 對稱性:與對稱於
2. 對數函數應用
對數函數在科學、工程和金融等領域中有廣泛應用,例如:
- 對數方程式:將各項化為同底數的對數後,再討論或利用代換法
- 對數不等式:
- 若 且 ,則
- 若 且 ,則
- 若出現、可用代換法,另
- 處理對數時要檢查真數與底數範圍:
- 真數>0
- 底數>0、底數 $ \neq 1$