8. 指數與對數

主題一. 指數與常用對數 (高一)

1. 指數律

指數律是數學中處理冪運算的基本法則，對於任何非零實數a和整數n和m，指數律包括：

• 乘法律：當兩個具有相同底數的冪相乘時，可以將指數相加。即 $a^n \times a^m = a^{n+m}$。
• 除法律：當兩個具有相同底數的冪相除時，可以將指數相減。即 $a^n \div a^m = a^{n-m}$，其中 $a \neq 0$。
• 冪的冪律：當一個冪的基數是另一個冪時，可以將指數相乘。即 $(a^n)^m = a^{n \times m}$。
• 零指數律：任何數的零次冪等於1，即 $a^0 = 1$，其中 $a \neq 0$。
• 負指數律：負指數表示該數的倒數的正指數。即 $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$，其中 $a \neq 0$。

2. 常用對數

常用對數是以10為底的對數，用符號“log”表示。對任何正數x，

• 定義：如果 $10^y = x$，則 $y$ 是 x 的常用對數，記作 $y = \log x$。
• 性質：常用對數將乘法運算轉化為加法運算，即 $\log(ab) = \log a + \log b$。
• 換底公式：可以將以10為底的對數轉換為其他底數的對數，即 $\log_b a = \frac{\log a}{\log b}$。

3. 科學記號

科學記號是一種表示極大或極小數字的方法，通過將數字寫成一個基數和一個10的整數指數的乘積。形式為 $a \times 10^n$，其中 $1 \leq |a| < 10$ 且 n 是一個整數。

• 舉例：3200 可以寫作 $3.2 \times 10^3$，而 0.0056 可以寫作 $5.6 \times 10^{-3}$。
• 應用：科學記號在處理非常大或非常小的數值時非常有用，如天文學、物理學中的距離和質量測量。

4. 基本應用

指數和對數在各種數學和科學領域中都有廣泛應用。一些常見的應用包括：

• 計算複利：計算複利時，可以使用指數來確定本金在一定期限內的增長。
• 解決指數方程：在代數中，指數方程常常可以通過對數轉換為線性方程來解決。
• pH值計算：在化學中，pH值是用對數刻度測量溶液的酸性或鹼性。
• 聲音強度：在物理學中，聲音的分貝（dB）單位是基於對數刻度的，用於表示聲音強度的相對級別。

主題二. 指數函數與圖形 (高二)

1. 指數函數定義與圖形

指數函數是形式為 $f(x) = a^x$ 的函數，其中 a 是一個正常數（底數），且 $a \neq 1$。這類函數的特點包括：

• 圖形特徵：當 $a > 1$ 時，函數圖形隨著 x 的增加而遞增；當 $0 < a < 1$ 時，圖形隨著 x 的增加而遞減。
• y軸截距：所有指數函數圖形都會在 $y = 1$ 處與 y軸相交。
• 水平漸近線：指數函數的圖形有一條 y = 0 的水平漸近線。

2. 指數函數應用

指數函數在多個領域有重要應用，例如：

• 人口增長：在理想條件下，人口增長可以用指數函數來模擬。
• 放射性衰變：放射性物質的衰變過程可以用指數函數來描述。
• 複利計算：金融領域中，複利的增長過程可用指數函數來計算。

主題三. 對數律 (高二)

1. 指數對數互換

指數與對數是相互的逆運算。換言之，如果 $a^x = b$，則 $x$ 是以 a 為底 b 的對數，即 $x = \log_a b$。這種關係在解決指數方程和對數方程時尤其重要。

2. 對數律

對數律是處理對數運算的基本法則，包括：

• 乘積律：$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$。
• 商律：$\log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y$。
• 冪律：$\log_a (x^n) = n \log_a x$。
• 底數變換公式：$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$，其中 c 是任意正數且 $c \neq 1$。

主題四. 對數函數 (高二)

1. 對數函數與圖形

對數函數是形式為 $f(x) = \log_a x$ 的函數，其中 a 是底數且 $a > 0, a \neq 1$。其圖形特點包括：

• x軸截距：對數函數圖形會在 $x = 1$ 處與 x軸相交。
• 垂直漸近線：對數函數圖形有一條 x = 0 的垂直漸近線。
• 增減性：當底數 $a > 1$ 時，函數隨著 x 的增加而遞增；當 $0 < a < 1$ 時，函數隨著 x 的增加而遞減。
• 
• 對稱性：$y=10^x$與$y=logx$對稱於$y=x$

2. 對數函數應用

對數函數在科學、工程和金融等領域中有廣泛應用，例如：

• 對數方程式：將各項化為同底數的對數後,再討論或利用代換法
• 對數不等式：

1. 若$a>1$ 且 $log_a x_1 > log_a x_2$,則 $x_1 > x_2$
2. 若$0<a<1$ 且 $log_a x_1 > log_a x_2$,則 $x_1 < x_2$
3. 若出現$log_a x$、$(log_a x)^2$可用代換法,另$log_a x=t$

• 處理對數時要檢查真數與底數範圍：

1. 真數>0
2. 底數>0、底數 $ \neq 1$